Question

Найдите наибольшее значении функции:
а)корень из 5-x^2 + корень из х
б)корень из -х + корень из 5-x^2
Объясните все подробно!!!

Answer 1

1)y=√(5-x²) +√x
x>0 U -√5<x<√5⇒x∈(0;√5)
y`=-2x/2√(5-x²)+1/2√x=(-2x√x+√(5-x²))/2√x(5-x²)=0
-2x√x+√(5-x²)=0
√(5-x²)=2x√x
5-x²=4x³
(x-1)(4x²+5x+5)=0
x=1
             _                  +
---------------------------------------
                         1
                     min
2)y=√(-x) +√(5-x²)
x∈(-√5;0)
y`=-1/2√(-x)-2x/2√(5-x²)=(-√(5-x²)-2x√-x)/2√x(x²-5)=0
-√(5-x²)=2x√x
5-x²=4x³
(x-1)(4x²+5x+5)=0
x=1
                       +                    _
--------------------------------------------------
                                 1
                               max

Answer 2

1) Находим область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным (≥0)
$\left \{ {{x \geq 0} \atop {5- x^{2} \geq 0}} \right.$

[0;+∞) U [-√5;√5]⇒x∈[0;√5]
Находим производную
$y`=( \sqrt{5- x^{2} })`+( \sqrt{x})`= \frac{1}{2 \sqrt{5- x^{2} } }\cdot (5- x^{2} )`+ \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \\ = \frac{1}{2 \sqrt{5- x^{2} } }\cdot (-2 x})+ \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \\ =\frac{-2x \sqrt{x} + \sqrt{5- x^{2} } }{2 \sqrt{5- x^{2} } \</span><span>\sqrt{ x}}$
Приравниваем к нулю и находим точки, в которых производная обращается в нуль. Это точки возможных экстремумов.
Для того чтобы узнать есть в них  экстремум или нет, надо воспользоваться достаточным условием: если при переходе через такую точку производная меняет знак с + на -, то это точка максимума, если с - на +, то минимума

y`=0
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$\left \{ {{-2x \sqrt{x}+ \sqrt{5- x^{2} )} =0} \atop { \sqrt{x} \neq 0;\sqrt{5- x^{2} \neq 0} }} \right.$
x≠0
x≠√5
Поэтому исследуем функцию на (0;√5)
√(5-x²)=2x√x
5-x²=4x³
(x-1)(4x²+5x+5)=0
x=1
Считаем у`(2)=(2·2+√(5-4))/2√(5-4)·√2<0
Ставим знак производной минус на (1;√5)
             +                 -
0----------------------------------------(√5)
                         1
                     max

в точке х=1  максимум, так как производная меняет знак с + на -
у(1)=√1 +√5-1=1+2=3

2) аналогично

Находим область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным (≥0)
$\left \{ {{-x \geq 0} \atop {5- x^{2} \geq 0}} \right.$

(-∞;0] U [-√5;√5]⇒x∈[-√5;0]
Находим производную
$y`=( \sqrt{-x})`+( \sqrt{5- x^{2} })`= + \frac{1}{2 \sqrt{-x} }\cdot (-x)`+ \frac{1}{2 \sqrt{5- x^{2} } }\cdot (5- x^{2} )`= \\ =\frac{-1}{2 \sqrt{-x} } + \frac{1}{2 \sqrt{5- x^{2} } }\cdot (-2 x}) = \\ = \frac{- \sqrt{5- x^{2} }-2x \sqrt{-x} }{2 \sqrt{5- x^{2} }\sqrt{ -x}}$

Приравниваем к нулю и находим точки, в которых производная обращается в нуль. Это точки возможных экстремумов.
Для того чтобы узнать есть в них  экстремум или нет, надо воспользоваться достаточным условием: если при переходе через такую точку производная меняет знак с + на -, то это точка максимума, если с - на +, то минимума

y`=0
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$\left \{ {{-2x \sqrt{-x}- \sqrt{5- x^{2} )} =0} \atop { \sqrt{x} \neq 0;\sqrt{5- x^{2} \neq 0} }} \right.$
x≠0
x≠ -√5
Поэтому исследуем функцию на (-√5;0)
√(5-x²)=-2x√-x
5-x²=4x²·(-х)
4х³-х²+5=0
(x+1)(4x²-5x+5)=0
x=-1-  точка возможного экстремума

находим знак производной в точке х=-2
у`(-2)=(-(√5-4)+4√2 )/2√(5-4)√2>0
                 +                -
(-√5)------------------(-1)----------(0)
                     max

у(-1)=√1+√(5-1)=1+2=3- наибольшее