Question

Докажите тождество:
a(b+c)^2 +b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)

Answer 1

$a(b+c)^2 +b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

$a(b+c)^2 +b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=a(b+c)(b+c)+b(c+a)$$(c+a)+c(a+b)(a+b)=a(b^2+2bc+c^2)+b(c^2+2ca+a^2)$$+c(a^2+2ab+b^2)=ab^2+2abc+ac^2+bc^2+2abc+ba^2+ca^2+2abc-4abc$$+cb^2=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2+2abc$

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(bc+ba+c^2+ca)=$
$abc+ba^2+ac^2+ca^2+b^2c+b^2a+bc^2+abc$=
$2abc+ba^2+ac^2+ca^2+b^2c+b^2a+bc^2$



$b^2a+c^2a+c^2b+a^2b+a^2c+b^2c+2acb$=$2abc+a^2b+c^2a+a^2c+b^2c+b^2a+c^2b$