Question

1 прямая АС касается окружности с центром О в точке А докажите что угод ВАС в 2 раза меньше угла АОВ

Answer 1

Построим диаметр АК.

∠КВА = 90°, так как он вписанный и опирается на полуокружность. Значит ΔАВК прямоугольный. Сумма острых углов его равна 90°:

∠АКВ + ∠КАВ = 90°

∠АКВ = 90° - ∠КАВ или, что то же самое

∠АКВ = 90° - ∠ОАВ

∠ОАС = 90°, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

∠ВАС = ∠ОАС - ∠ОАВ = 90° - ∠ОАВ, значит

∠ВАС = ∠АКВ

∠АКВ = 1/2∠АОВ, так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Тогда и ∠ВАС = 1/2∠АОВ