Question

Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника, составленного из медиан.

Answer 1

В треугольнике ABC проведем медианы AM, BN, CR. Пусть О - точка пересечения медиан, и K - середина OC. Тогда треугольник OMK подобен треугольнику, составленному из медиан с коффициентом 1/3. Действительно,
OM=AM/3,
MK=OB/2=(2BN/3)/2=BN/3,
OK=OC/2=(2CR/3)/2=CR/3.
Здесь использовано то, что О делит медианы в отношении 2:1 считая от вершины, из которой проведена медиана. Таким образом,
$S_{OMK}=S_{OMC}/2.$
$S_{OMC}=(h/3)\cdot (BC/2)/2=(h\cdot BC/2)/6=S_{ABC}/6.$
Здесь h - высота треугольника ABC из вершины  А, h/3 - высота треугольника OMC из вершины О (т.к. OM=AM/3). Итак, $S_{OMK}=S_{ABC}/12$. Т.к. стороны треугольника OMK равны трети длин медиан, то площадь треугольника, составленного из медиан в 9 раз больше площади треугольника OMK, т.е. она равна $9S_{ABC}/12=3S_{ABC}/4.$ Поэтому искомое отношение площади треугольника ABC, к площади треугольника, составленного из его медиан равно 4/3.