Question

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 92.Найти стороны этого треугольника.

Answer 1

Пусть AD пересекает BE в точке F. ABD - равнобедренный (т.к. BF его биссектриса и высота), т.е. AB=BD=DC=a. На продолжении прямой BA за точку A возьмем точку S, так что AB=AS, т.е. SBC - равнобедренный треугольник и BS=BC=2a. AD - его средняя линия. Пусть BG - высота треугольника SBC. Пусть FE=x. Т.к. SC=2AD, то EG=2x, значит BF=FG=3x. Отсюда BE=BF+FE=3x+x=4x=92, т.е. x=23. Т.к. AF=92/2=46, то по т. Пифагора для треугольника AFE получим $AE=\sqrt{AF^2+FE^2}=\sqrt{46^2+23^2}=23\sqrt{5}$. По свойству биссектрисы BE получаем EC=2AE и, следовательно, $AC=3AE=69\sqrt{5}$.
По т. Пифагора для треугольника ABF получим $AB=\sqrt{BF^2+AF^2}=\sqrt{(3\cdot 23)^2+46^2}=23\sqrt{13}$.$BC=2AB=46\sqrt{13}$.