Question

Решите любое из этих трех заданий

Answer 1

$\frac{3ab-b^{2} }{9a^{2}+3ab-2b^{2} }$
Рассмотрим знаменатель как квадратный трехчлен от аргумента а.
Разложим его на множители  по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители, для этого найдем корни этого трехчлена:
$9a^{2}+3ab-2b^{2} = 0 \\ 9a^{2}+3ba - 2b^{2} = 0 \\ D = (3b)^{2} - 4*9*( - 2b^{2})= 9b^{2}+72b^{2} = 81b^{2} \\ \sqrt{D} = 9b \\ a_{1} = \frac{-3b+9b}{2*9} = \frac{6b}{18} = \frac{b}{3} \\ a_{2} = \frac{-3b-9b}{2*9} = \frac{-12b}{18} = - \frac{2b}{3}$
Значит знаменатель раскладывается на множители:
$9a^{2}+3ab-2b^{2} = 9 (a - \frac{b}{3})(a + \frac{2b}{3}) = \\ = 3 * 3 * (a - \frac{b}{3})(a + \frac{2b}{3}) = (3a - b)(3a + 2b)$

Тогда дробь будет иметь вид:
$\frac{3ab-b^{2} }{(3a - b)(3a + 2b)} = \frac{b(3a-b) }{(3a - b)(3a + 2b)} =\frac{b }{3a + 2b}$