Question

1) точки к плоскости проведены две наклонные, угол между которыми 60, а угол между их проекциями 90. Длины проекций наклонных на плоскость равны по 3 см каждая. вычислить расстояние от точки до плоскости
2) Основа равнобедренного треугольника совпадает со стороной правильного треугольника. Основой перпендикуляра, проведенного с вершины первого треугольника в плоскости второго, является вершина правильного треугольника. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 корень 5, а угол между плоскостями этих треугольников составляет 30 градусов. Вычислить сторону правильного треугольник
3)Ортогональной проекцией трапеции является равносторонняя трапеция с основами 7 и 25 и диагоналями перпендикулярными к боковым сторонам. угол между плоскостями этих трапеций равна 60 градусов. вычислить площадь трапеции проектируемог

Answer 1

1)
соединим основания наклонных отрезком
проекции наклонных и нарисованный отрезок образуют равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами a=b=3 и гипотенузой c=a*корень(2)=3*корень(2)
наклонные и нарисованный отрезок образуют равносторонний треугольник (так как проекции наклонных равны, значит сами наклонные равны, кроме наклонные под углом 60 градусов)
значит длина каждой наклонной L=3*корень(2)
наклонная, ее проекция и опущенный на плоскость перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник
длина перпендикуляра h = корень( L^2-a^2) = 3  - искомое расстояние

2)
пусть а - сторона равностороннего и основание равнобедренного
h = a* корень(3)/2 - высота проведенная к стороне равностороннего
высота равнобедренного H = h /cos(30) = h*2/корень(3)=a
сторона равнобедренного b = корень(H^2+(a/2)^2) = корень(a^2+(a/2)^2) =
=a*корень(5)/2 = 6*корень( 5)
a = 6*2=12- это ответ

3)
рассмотрим трапецию, которая является проекцией
пусть нижнее основание а=25 а верхнее в=7
пусть угол при большем основании трапеции равен alpha
тогда боковая сторона L=а*соs(alpha)
тогда верхнее основание b = a - 2*L*cos(alpha) =
= a(1 - 2*cos^2(alpha))
cos^2(alpha)=(1-b/a)/2= (1-7/25)/2= 9/25
cos(alpha)= 3/5
sin^2(alpha)=16/25
sin(alpha)=4/5
L=а*соs(alpha)=25*3/5=15
h=L*sin(alpha)=15*4/5=12 - высота трапеции
S = h*(a+b)/2=12*(7+25)/2=192 - площадь проекции
S0=S/cos(30)=192*2=384