Question

Help!С подробным решением,пожалуйста.

Answer 1

6 решил, остальное как решать не ведаю.

Answer 2

$4)\ 3^{3cosx-cos^2x}=\frac{1}{3};\ x\ E\ [-\frac{\pi}{2};\pi] \\ 3^{3cosx-cos^2x}=3^{-1}\\ 3cosx-cos^2x=-1\\ cos^2x-3cosx-1=0\\ ***cos^2x=a***\\ a^2-3a-1=0\\ D=9+4=13\\ |a=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ |a=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\\ \\ |cosx=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ |cosx=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$
$-1 \leq cosx \leq 1;\\ 3+\sqrt{13}\ \textgreater \ 2\ =\ \textgreater \ \ \frac{3+\sqrt13}{2}\ \textgreater \ 1\ =\ \textgreater \ \ cosx \neq \frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ 3-\sqrt{13}:$
Здесь проведём оценку числителя. Косинус лежит в отрезке [-1;1]. То есть в этом отрезке лежит дробь (3-√13)/2. Домножим на 2 края отрезка и саму дробь, чтобы избавиться от знаменателя. Получим, что 3-√13 должна лежать в отрезке [-2;2]. Очевидно, что 3<√13, поскольку их квадраты оцениваются так же (9<13), то есть 3-√13<0. То есть 3-√13 гарантировано <2. Нужно показать, что 3-√13>=-2. Для этого перенесём -2 в левую часть, а корень - в правую.
3+2>=√13
5>=√13
Возведём в квадрат
25>=13 - верно, значит 3-√13>=-2. Мы предположили это и пришли к верному выводу, значит наше предположение верно. То есть нас устраивает только один из корней - (3-√13)/2
$cosx=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\\ x=+-arccos(\frac{3-\sqrt{13}}{2})+2\pi k$
Дальше будет проще воспользоваться единичной окружностью: изобразим этот интервал и посмотрим, какие точки туда попадают. Исходя из рисунка очевидно, что для положительного решения нужно взять k=0, то есть
$x=arccos(\frac{3-\sqrt{13}}{2})$ - ответ.
$5)\ sin3x=4sinxcos2x;\ x\ E\ (0;\frac{3\pi}{2})\\ sin3x=4*\frac{sin(x+2x)+sin(x-2x)}{2}\\ sin3x=2sin(3x)+2sin(-x)\\ -sin3x=-2sinx\\ -3sinx+4sin^3x+2sinx=0\\ 4sin^3x-sinx=0\\ sinx(4sin^2x-1)=0\\ |sinx=0\ =\ \textgreater \ \ x=\pi k\\ |4sin^2x-1=0\\ \\ |x=\pi k\\ |sin^2x=\frac{1}{4}$
$\\ |x=\pi k\\ |sinx=+-\frac{1}{2}\\ \\ |x=\pi k\\ |x=+-\frac{\pi}{6}+2\pi k\\ |x=+-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$
Дальше можно решить двумя путями: через неравенства или же аналогично предыдущему примеру через окружности. Я просто напишу, какие корни попадают, чтобы решение не показалось слишком большим.
$x=\frac{\pi}{6};\ \frac{5\pi}{6};\ \pi;\ \frac{7\pi}{6}$
$6)\ 6sin^2x+2sin^22x=5\\ 6sin^2x+8sin^2xcos^2x=5\\ 6sin^2x+8sin^2x(1-sin^2x)=5\\ 6sin^2x+8sin^2x-8sin^4x-5=0\ ||*(-1)\\ 8sin^4x-14sin^2x+5=0\\ D=196-160=36\\ |sin^2x=\frac{7+3}{8}\ =\ \textgreater \ \ sin^2x=\frac{5}{4}\ \textgreater \ 1\\ |sin^2x=\frac{7-3}{8}\ -\ \textgreater \ sin^2x=\frac{1}{2}$
sin²x=5/4 решений не имеет, так как, если опустить корень, то полученное число - √5 /2 - больше единицы, а синус лежит в отрезке [-1;1].
$sin^2x=\frac{1}{2}\\ |sinx=\frac{\sqrt2}{2}\\ |sinx=-\frac{\sqrt2}{2}\\ \\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\\ x\ E\ (\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2})\\ \frac{\pi}{2}\ \textless \ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\ \textless \ \frac{3\pi}{2}\\ \frac{\pi}{4}\ \textless \ \frac{\pi k}{2}\ \textless \ \frac{5\pi}{4}\\ \frac{1}{2}\ \textless \ k\ \textless \ \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}\ \textless \ k\ \textless \ 2\frac{1}{2}\ =\ \textgreater \ \ k=1;\ 2\\ k=1\ =\ \textgreater \ \ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}\\ k=2\ =\ \textgreater \ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}$

$7)\ \frac{1}{cos^2x}-\frac{4}{sin^2x}+6=0;\ x\ E\ (-\frac{7\pi}{2};-2\pi);\ sinx \neq0;\ cosx \neq 0\\ 1+tg^2x-4(1+ctg^2x)+6=0\\ 1+tg^2x-4-4ctg^2x+6=0\\ tg^2x-\frac{4}{tg^2x}+3=0\\ tg^2x*tg^2x-\frac{4}{tg^2x}*tg^2x+3*tg^2x=0\\ (tg^2x)^2+3tg^2x-4=0\\ ***tg^2x=a***\\ a^2+3a-4=0\\ D=9+16=25\\ |a=\frac{-3+5}{2}\ =\ \textgreater \ \ a=1\\ |a=\frac{-3-5}{2}\ =\ \textgreater \ \ a=-4\\ \\ |tg^2x=1\\ |tg^2x=-4$
У второго уравнения решений нет, так как слева стоит квадрат, который неотрицателен для любого x, а справа - отрицательное число.
$tg^2x=1\\ |tgx=1\\ |tgx=-1\\ \\ |x=\frac{\pi}{4}+\pi k\\ |x=-\frac{\pi}{4} +\pi k$
Объединим в одно решение:
$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\\ x\ E\ (-\frac{7\pi}{2};-2\pi)\\ -\frac{7\pi}{2}\ \textless \ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\ \textless \ -2\pi\\ -\frac{15\pi}{4}\ \textless \ \frac{\pi k}{2}\ \textless \ -\frac{9\pi}{4}\\ -\frac{15}{2}\ \textless \ k\ \textless \ -\frac{9}{2}\\ -7\frac{1}{2}\ \textless \ k\ \textless \ -4\frac{1}{2}\ =\ \textgreater \ \ k=-5, -6,-7\\ k=-5 \ =\ \textgreater \ \ x=\frac{\pi}{4}-\frac{5\pi}{2}=-\frac{9\pi}{4}\\ k=-6\ =\ \textgreater \ \ x=\frac{\pi}{4}-3\pi=-\frac{11\pi}{4}\\ k=-7\ =\ \textgreater \ \ x=\frac{\pi}{4}-\frac{7\pi}{2}=-\frac{13\pi}{4}$