Question

ABCD - правильный тетраэдр,длина ребра которого равна 4 см.Через точку О - середину ребра BC - перпендикулярно прямой CD проведена плоскость.Вычислите периметр получившегося сечения.

Answer 1

Пусть E - середина ребра AC и F - середина ребра DC. Опустим перпендикуляры из точек О и Е на отрезок DC.  Оба этих перпендикуляра пересекут DC в одной точке H, т.к. треугольники EHC и OHC равны по гипотенузе и острому углу. Значит, плоскость OEH перпендикулярна DС. При этом EH=OH=BF/2=√3 (Т.к. OH и EH - средние линии треугольников BFC и AFC, и, кроме того, AF=BF=(4√3)/2=2√3). Т.к. OE - cредняя линия треугольника ABC, то OE=AB/2=2. Таким образом, периметр сечения, т.е. треугольника OEH, равен EH+OH+OE=√3+√3+2=2+2√3.