Question

Найдите наибольшее значение функции y=-4tgx+8x-2пи+7 на отрезке [-пи/3;пи/3]

Answer 1

Найдем производную функции как производная суммы.

$\tt y'=(-4tgx+8x-2\pi +7)'=(-4tgx)'+(8x)'-(2\pi )'+(7)'=\\ \\ =-\dfrac{4}{\cos^2x} +8$

$\tt y'=0;~~~ -\dfrac{4}{\cos^2x} +8=0\\ \\ \cos^2x=0.5\\ \\ \frac{1+\cos 2x}{2}=0.5\\ \\ \cos2x=0\\ \\ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} ,n \in \mathbb{Z}$

Если n=0, то x=±π/4 ∈ [-π/3; π/3]

Найдем теперь наибольшее значение функции на концах отрезка.

$\tt y(-\frac{\pi}{3} )=-4tg(-\frac{\pi}{3}) +8\cdot(-\frac{\pi}{3})-2\pi +7=4\sqrt{3} -\frac{8\pi}{3} -2\pi +7\approx-0.733\\ \\ y(-\frac{\pi}{4} )=-4tg(-\frac{\pi}{4}) +8\cdot(-\frac{\pi}{4})-2\pi +7=4 -\frac{8\pi}{4} -2\pi +7\approx-1.566$

$\tt y(\frac{\pi}{4} )=-4tg\frac{\pi}{4} +8\cdot\frac{\pi}{4}-2\pi +7=-4 +\frac{8\pi}{4} -2\pi +7=3\\ \\ y(\frac{\pi}{3} )=-4tg\frac{\pi}{3} +8\cdot\frac{\pi}{3}-2\pi +7=-4\sqrt{3} +\frac{8\pi}{3} -2\pi +7\approx2.166$

Ответ: $\displaystyle \tt \max_{[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}]}y(x)=y\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg)=3$