Question

2/sin^2(2x)=ctg 2x+5

Answer 1

$\frac{2}{sin^22x}=ctg2x+5\\\\2(ctg^22x+1)=ctg2x+5\\2ctg^22x-ctg2x+2-5=0\\2ctg^22x-ctg2x-3=0\\a=ctg2x\\2a^2-a-3=0\\D=(-1)^2-4*2*(-3)=1+24=25=5^2\\a_1=(1+5)/4=6/4=1,5\\a_2=(1-5)/4=-4/4=-1\\\\ctg2x=1,5\\2x_1=arcctg1,5+ \pi n, n\in Z\\x_1= \frac{1}{2}arcctg1,5+ \frac{ \pi n}{2}, n\in Z \\\\ctg2x=-1\\2x_2=arcctg(-1)+ \pi n, n\in Z\\2x_2= \frac{3 \pi }{4}+ \pi n, n\in Z\\x_2= \frac{3 \pi }{8}+ \frac{ \pi n}{2}, n\in \pi Z$

Answer 2

1+ctg²x=1/sin²x⇒
2(1+ctg²2x)-ctg2x-5=0
2ctg²2x-ctg2x-3=0
ctgx=a
2a²-a-3=0
D=1+24=25
a1=(1-5)/4=-1⇒ctg2x=-1⇒2x=3π/4+πn⇒x=3π/8+πn/2
a2=(1+5)/4=1,5⇒ctg2x=1,5⇒2x=arcctg1,5+πn⇒1/2arcctg1,5+πn/2