Question

в основании прямого параллелепипеда лежит ромб . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда , если площадь его диоганальных сечений P и Q.

Answer 1

Решение: Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед, площадь диагонального сечения ACC1A1 равна P, а диагонального сечения BDD1B1 равна Q. ТогдаAC*h=P, BD*h=Q, где – h высота параллелепипеда (так как диагональные сечения прямого параллелепипеда - прямоугольники)Отсюда отношение диагоналей  AC:BD=P:Q.Пусть О – точка пересечния диагоналей ромба.Диагонали ромба(как параллелограмма) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (свойство ромба).ПоэтомуAO:BO=(1\2*AC) :  (1\2*BD)=P:QПусть AO=P*x, тогда BO=Q*x, AC=2P*x, BD=2Q*xпо теореме Пифагора:AB=корень (AO^2+BO^2)= корень (AO^2+BO^2)= корень ((P*x)^2+(Q*x)^2)== корень (P^2+Q^2)*хAC*h=P, BD*h=Q, значит2P*x*h+2Q*x*h=P+Q2(P+Q)*x*h=P+Qh=1\2*1\xПлощадь боковой поверхности равна 4* AB*h==4* корень (P^2+Q^2)*х*1\2*1\x=2*корень (P^2+Q^2).Ответ: 2*корень (P^2+Q^2).