Question

Планиметрия 9 класс...
На 2 картинке номера просто свериться , такие ли ответы?

Answer 1

2(4)а
Вписанные углы ADC и АВС равны, так как они опираются на одну и ту же дугу АС:
$\angle ADC=\angle ABC=x$
Для треугольника AMD угол NAB внешний, который равен сумме двух углов этого треугольника, не смежных с ним:
$\angle NAB=\angle ADC+\angle AMD$
Рассмотрим треугольник NAB:
$\angle NAB+\angle ABN+\angle ANB=180 \\\ \angle ADC+\angle AMD+\angle ABC+\angle ANB=180 \\\ x+90+x+40=180 \\\ 2x=50 \\\ x=25$
Ответ: 25 градусов

2(4)б
Проведем радиусы ОА=ОВ=ОС=ОD. Получим треугольники АОВ и COD, равные по трем сторонам. В равных треугольниках равны и соответствующие элементы. Значит, высота ОК треугольника АОВ равна высоте ОМ треугольника COD. Отсюда следует, что точка О равноудалена от прямых АВ и CD, а точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

3(4)a
Дано: АВ - хорда, вписанный угол АСВ=α, радиус окружности R.
Найди: АВ.
Проведем радиусы ОА=ОВ. Получим треугольник АОВ с центральным углом АОВ. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, в то время как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Значит, угол АОВ в 2 раза больше угла АСВ и равен 2α. По теореме косинусов найдем сторону АВ:
$AB^2=AO^2+OB^2-2\cdot AO\cdot OB \cdot \cos \angle AOB \\\ AB= \sqrt{ AO^2+OB^2-2\cdot AO\cdot OB \cdot \cos \angle AOB } \\\ AB= \sqrt{ R^2+R^2-2\cdot R\cdot R \cdot \cos 2 \alpha }= R \sqrt{ 2(1-\cos 2 \alpha) }$

3(4)б
Прежде чем найти АС по теореме синусов, находим угол С:
$\angle C=180-\angle A-\angle B \\\ \angle C=180-15-45=120$
По теореме синусов:
$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \\\ AC= \frac{AB \sin B}{\sin C} \\\ AC= \frac{4 \sqrt{3}\cdot \sin 45}{\sin 120} =\frac{4 \sqrt{3}\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2}} =\frac{4 \sqrt{3}\cdot \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } =4 \sqrt{2}$
По этой же теореме находим радиус описанной окружности:
$\frac{AC}{\sin B}=2R \\\ R= \frac{AC}{2\sin B} \\\ R= \frac{4 \sqrt{2} }{2\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} }=4$

$\vec{AB}=\vec{CD}\Rightarrow \{x_B-x_A;y_B-y_A \}=\{x_D-x_C;y_D-y_C \} \\\ \{1;2 \}=\{x_D-0;y_D-0 \}\Rightarrow D(1;2) \\\ \{1;2 \}=\{x_D+1;y_D+2 \}\Rightarrow D(0;0) \\\ \{3-1;4-2 \}=\{x_D-5;y_D-6 \}\Rightarrow D(7;8)$

$\vec{a}=\{3;-4\} \\\ \vec{b}=\{1;2\} \\\ 2\vec{a}=\{2\cdot3;2\cdot(-4)\}=\{6;-8\} \\\ \vec{a}+\vec{b}=\{3+1;-4+2\}=\{4;-2\} \\\ \vec{b}-\vec{a}=\{1-3;2-(-4)\}=\{-2;6\} \\\ 3\vec{a}-2\vec{b}=\{3\cdot3-2\cdot1;3\cdot(-4)-2\cdot2\}=\{7;-16\} \\\ \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a}}{ \sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{\{3;-4\}}{5}=\{ \frac{3}{5};-\frac{4}{5}\} \\\ \frac{\vec{a}-3\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}=\frac{\{3-3\cdot1;-4-3\cdot2\}}{ \sqrt{4^2+(-2)^2}}= \frac{\{0;-10\}}{ 2\sqrt{5}}=\{0;-\sqrt{5}}\}$