Question

Друзья, выкладываю интересную задачу с параметром(для хорошо разбирающихся в математике). Решал задачу, получил одну пару значений параметра: (-6;7). Хочется увидеть ваши варианты решения. основное условие: нельзя решать графически, только аналитическими методами.Задача такая.

Найдите все пары действительных чисел (a,b), для каждой из которых следующее неравенство не имеет ни одного решения на отрезке [1;5].

Answer 1

Хоть решать графически и нельзя, но представить себе график функции, безусловно, можно. Итак, это парабола с ветвями, направленными вверх. Нам нужно найти такие параметры параболы, чтобы на отрезке [1; 5] эта парабола находилась в пределах от -2 до 2.
Найдём минимальное и максимальное значение функции на отрезке. Как известно, минимальное/максимальное значение функции на отрезке может достигаться на концах этого отрезка или в точке, где производная равна нулю:
$y(x)=x^2+ax+b\\y(1)=1+a+b\\y(5)=25+5a+b\\y'(x)=2x+a=0;x=-\frac{a}{2}\\y(-\frac{a}{2})=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}+b=\frac{-a^2+4b}{4}$

Теперь запишем несколько неравенств нахождения значения функции в промежутке, одновременно преобразовывая их:
$-2\leq 1+a+b\leq 2\\-3\leq a+b\leq 1\\\\-2\leq 25+5a+b\leq 2\\-27\leq 5a+b\leq -23$

Вычтем из второго неравенства первое:
$-24\leq 4a\leq -24$

Итак, 4a должно равняться -24! Следовательно, a = -6; подставим это значение во все неравенства (в качестве проверки и нахождения b):
$-3\leq -6+b\leq 1\\3\leq b\leq 7\\\\-27\leq 5*(-6)+b\leq -23\\3\leq b\leq 7\\\\-2\leq \frac{-a^2+4b}{4}\leq 2\\-8\leq -36+4b\leq 8\\7\leq b\leq 11$
Итак, b может равняться только 7.

Ответ: a = -6; b = 7.