Друзья, выкладываю интересную задачу с параметром(для хорошо разбирающихся в математике). Решал задачу, получил одну пару значений параметра: (-6;7). Хочется увидеть ваши варианты решения. основное условие: нельзя решать графически, только аналитическими методами.Задача такая.
Найдите все пары действительных чисел (a,b), для каждой из которых следующее неравенство не имеет ни одного решения на отрезке [1;5].
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/a33/a3366dd8c5c84f1c4606e5efba7cb8ae.jpg)
Kulakca:
задача, скорее всего, из вступительных экзаменов в ведущие вузы
Ответы
Ответ дал:
1
Хоть решать графически и нельзя, но представить себе график функции, безусловно, можно. Итак, это парабола с ветвями, направленными вверх. Нам нужно найти такие параметры параболы, чтобы на отрезке [1; 5] эта парабола находилась в пределах от -2 до 2.
Найдём минимальное и максимальное значение функции на отрезке. Как известно, минимальное/максимальное значение функции на отрезке может достигаться на концах этого отрезка или в точке, где производная равна нулю:
![y(x)=x^2+ax+b\\y(1)=1+a+b\\y(5)=25+5a+b\\y'(x)=2x+a=0;x=-\frac{a}{2}\\y(-\frac{a}{2})=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}+b=\frac{-a^2+4b}{4} y(x)=x^2+ax+b\\y(1)=1+a+b\\y(5)=25+5a+b\\y'(x)=2x+a=0;x=-\frac{a}{2}\\y(-\frac{a}{2})=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}+b=\frac{-a^2+4b}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=y%28x%29%3Dx%5E2%2Bax%2Bb%5C%5Cy%281%29%3D1%2Ba%2Bb%5C%5Cy%285%29%3D25%2B5a%2Bb%5C%5Cy%27%28x%29%3D2x%2Ba%3D0%3Bx%3D-%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D%5C%5Cy%28-%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D%29%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B2%7D%2Bb%3D%5Cfrac%7B-a%5E2%2B4b%7D%7B4%7D)
Теперь запишем несколько неравенств нахождения значения функции в промежутке, одновременно преобразовывая их:
![-2\leq 1+a+b\leq 2\\-3\leq a+b\leq 1\\\\-2\leq 25+5a+b\leq 2\\-27\leq 5a+b\leq -23 -2\leq 1+a+b\leq 2\\-3\leq a+b\leq 1\\\\-2\leq 25+5a+b\leq 2\\-27\leq 5a+b\leq -23](https://tex.z-dn.net/?f=-2%5Cleq+1%2Ba%2Bb%5Cleq+2%5C%5C-3%5Cleq+a%2Bb%5Cleq+1%5C%5C%5C%5C-2%5Cleq+25%2B5a%2Bb%5Cleq+2%5C%5C-27%5Cleq+5a%2Bb%5Cleq+-23)
Вычтем из второго неравенства первое:
![-24\leq 4a\leq -24 -24\leq 4a\leq -24](https://tex.z-dn.net/?f=-24%5Cleq+4a%5Cleq+-24)
Итак, 4a должно равняться -24! Следовательно, a = -6; подставим это значение во все неравенства (в качестве проверки и нахождения b):
![-3\leq -6+b\leq 1\\3\leq b\leq 7\\\\-27\leq 5*(-6)+b\leq -23\\3\leq b\leq 7\\\\-2\leq \frac{-a^2+4b}{4}\leq 2\\-8\leq -36+4b\leq 8\\7\leq b\leq 11 -3\leq -6+b\leq 1\\3\leq b\leq 7\\\\-27\leq 5*(-6)+b\leq -23\\3\leq b\leq 7\\\\-2\leq \frac{-a^2+4b}{4}\leq 2\\-8\leq -36+4b\leq 8\\7\leq b\leq 11](https://tex.z-dn.net/?f=-3%5Cleq+-6%2Bb%5Cleq+1%5C%5C3%5Cleq+b%5Cleq+7%5C%5C%5C%5C-27%5Cleq+5%2A%28-6%29%2Bb%5Cleq+-23%5C%5C3%5Cleq+b%5Cleq+7%5C%5C%5C%5C-2%5Cleq+%5Cfrac%7B-a%5E2%2B4b%7D%7B4%7D%5Cleq+2%5C%5C-8%5Cleq+-36%2B4b%5Cleq+8%5C%5C7%5Cleq+b%5Cleq+11)
Итак, b может равняться только 7.
Ответ: a = -6; b = 7.
Найдём минимальное и максимальное значение функции на отрезке. Как известно, минимальное/максимальное значение функции на отрезке может достигаться на концах этого отрезка или в точке, где производная равна нулю:
Теперь запишем несколько неравенств нахождения значения функции в промежутке, одновременно преобразовывая их:
Вычтем из второго неравенства первое:
Итак, 4a должно равняться -24! Следовательно, a = -6; подставим это значение во все неравенства (в качестве проверки и нахождения b):
Итак, b может равняться только 7.
Ответ: a = -6; b = 7.
Вас заинтересует
11 месяцев назад
11 месяцев назад
7 лет назад