Question

в геометрической прогрессии разность между третьим и первым членами равна 2, а разность между пятым и третьим равна 8. Найдите сумму первых шести членов

Answer 1

{b₃ - b₁=2
{b₅ - b₁=8

{b₁*q² - b₁=2
{b₁*q⁴ - b₁*q²=8

{b₁(q²-1) =2
{b₁(q⁴-q²)=8

{b₁=  2  
      q²-1
{b₁=  8   
      q⁴-q²
  
  2   =   8  
q²-1    q⁴-q²
 2*4    =   8   
4(q²-1)   q⁴-q²

q≠1    q≠-1

4(q²-1)=q⁴-q²
4q²-4-q⁴+q²=0
-q⁴+5q²-4=0
q⁴-5q²+4=0

Пусть  y=q²
y²-5y+4=0
D=25-16=9
y₁=5-3= 1
      2
y₂=5+3=4
       2

При у=1
q²=1
q₁=1 - не подходит
q₂=-1 - не подходит

При y=4
q²=4
q₁=2
q₂=-2

При q=2
b₁=  2   = 2  
      2²-1   3
b₆=b₁*q⁵ = 2 * 2⁵ = 2⁶ 
                 3            3
S₆=b₆*q - b₁ = 2⁶ * 2 - 2     =  2⁷ - 2 = 128 - 2 = 42
         q-1        3          3          3     3        3
                        2-1

При q=-2
b₁=    2     = 2  
     (-2)²-1     3
b₆ = 2 * (-2)⁵ = -2⁶
       3                3
S₆= -2⁶ * (-2) -  2  = 2⁷ - 2  =128-2 = 126 = -14
        3               3      3*(-3)     -9        -9
            -2-1

Ответ: -14 и 42.