Question

помогите пожалуйста:

1. 2cos(x+пи/3)= -√3

2. 2sin(x+пи/6) = -√3

3. 1/3sin x/4 = √2/6

4. cos²x - sin²x = -1

5. tg(пи+x) + 2tg x - √3=0

6. tgx/sin2x=0

7.2sin²x - 3cos x =3

8. 2sin²x+sinx -3 = 0

Answer 1

$1)~ 2cos(x+ frac{pi}{3} )=-sqrt{3}\ cos(x+frac{pi}{3} )=-sqrt{3}/2\ \ x+frac{pi}{3} =pmarccos(-sqrt{3}/2)+2pi n,n in Z\ \ x+frac{pi}{3} =pmfrac{pi}{6}+2pi n,n in Z\ \ boxed{x=pmfrac{pi}{6}-frac{pi}{3} +2pi n,n in Z }$

$2)~2sin(x+frac{pi}{6} )=-sqrt{3}\ \ sin(x+frac{pi}{6} )=-sqrt{3}/2\ \ x+frac{pi}{6} =(-1)^kcdot arcsin(-sqrt{3}/2)+pi k,k in Z\ \ x+frac{pi}{6} =(-1)^{k+1}cdot frac{pi}{3}+pi k,k in Z\ \ boxed{x=(-1)^{k+1}cdotfrac{pi}{3}-frac{pi}{6} +pi k,k in Z }$

$3)~ frac{1}{3} sin frac{x}{4} = frac{ sqrt{2} }{6} ~|cdot 3\ \ sin frac{x}{4}= frac{sqrt{2}}{2} \ \ frac{x}{4}=(-1)^kcdot frac{pi}{4} +pi k,k in Z~|cdot 4\ \ boxed{x=(-1)^kcdot pi + 4pi k,k in Z}$

$4)~ cos^2x-sin^2x=-1\ cos2x=-1\2x=pi +2 pi n,n in Z~|:2\ boxed{x= frac{pi}{2}+pi n,n in Z }$

$5)~tg(pi +x)+2tgx-sqrt{3}=0\ tgx+2tgx-sqrt{3}=0\ 3tgx=sqrt{3}\ tgx= frac{1}{sqrt{3}} \ x=arctg frac{1}{sqrt{3}}+ pi n,n in Z\ \ boxed{x= frac{pi}{6}+ pi n,n in Z }$

$6)~ frac{tgx}{sin 2x}=0~~~Rightarrow~~~~~~ frac{sin x}{2sin xcos^2x} =0~~Rightarrow~~~ frac{1}{2cos^2x} =0$
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равно нулю. В данном случае 1=0 а это не верно. 
Ответ: уравнение решений не имеет.

$7)~2sin^2x-3cos x=3\ 2(1-cos^2x)-3cos x-3=0\ 2-2cos^2x-3cos x-3=0\ 2cos^2x+3cos x+1=0$
Решим данное упрощенное уравнение как квадратное уравнение относительно $cos x$, то есть
$D=b^2-4ac=3^2-4cdot2cdot 1=1$

$cos x= dfrac{-3+1}{2cdot 2} =- dfrac{1}{2} ~~~~~Rightarrow~~~~boxed{x_1=pm frac{2pi}{3}+2 pi n,n in Z }\ \ \ cos x= dfrac{-3-1}{2cdot 2}=-1;~~~~~Rightarrow~ ~~~~~boxed{x_2= pi +2 pi n,n in Z}$

$8)~2sin^2x+sin x-3=0$
Аналогично с примера 7) решим как квадратное уравнение относительно sin x
$D=b^2-4ac=1^2-4cdot 2cdot (-3)=25$

$sin x= dfrac{-1+5}{2cdot 2} =1;~~~~~Rightarrow~~~~~boxed{x_1= frac{pi}{2}+2 pi k,k in Z }$

$sin x= dfrac{-1-5}{2cdot 2}=- dfrac{3}{2}$  (*)
последнее уравнение (*) решение не имеет, т.к. синус принимает свои значения [-1;1].