Question

помогите с с1 и с2 пожалуйста,все по применению производной

Answer 1

C1.
Функция может принимать наибольшее и наименьшее значение:
1) в точках экстремума (максимума и минимума)
2) в крайних точках области определения функции (ОДЗ)
Проверим п.1)
$y'(x)= \frac{-4}{2 \sqrt{-4x-3}}-\frac{3*4}{2 \sqrt{4x+5}}=\frac{-2}{\sqrt{-4x-3}}-\frac{6}{\sqrt{4x+5}}=0$
В знаменателях стоят квадратные корни - они всегда принимают положительные значения, значит каждая дробь будет принимать отрицательные значения. Сумма двух отрицательных дробей нулю не равна ни при каких х. Значит производная не равна 0, т.е. точки максимума и минимума отсутствуют - следовательно, функция монотонная.
Производная принимает только отрицательные значения, значит функция убывает на всей области определения. Найдем ОДЗ:
$\left \{ {{-4x-3 \geq 0} \atop {4x+5 \geq 0}} \right.$
$\left \{ {{x \leq -0.75} \atop {x \geq -1.25}} \right.$

Перейдем к п.2)
Функция принимает наименьшее значение в точке $x=-1.25$
Функция принимает наибольшее значение в точке $x=-0.75$
$y(-1.25)= \sqrt{-4*(-1.25)-3}-3 \sqrt{4*(-1.25)+5}=\sqrt{2}$ - наибольшее
$y(-0.75)= \sqrt{-4*(-0.75)-3}-3 \sqrt{4*(-0.75)+5}=-3 \sqrt{2}$ - наименьшее

С2.
Точка В∈Ox, C∈Ox => точки лежат на одной прямой.
BC=6.
Точка А должна принадлежать графику функции $y(x)=x^{4}+32x+49$
Площадь треугольника АВС находится следующим образом:
$S_{ABC}=0.5*BC*AH=0.5*6*AH=3*AH$, 
где АН - высота, она равна второй координате точки А.
Т.е. площадь будет наименьшей, когда высота будет наименьшей. А высота будет наименьшей тогда, когда вторая координата точки А будет наименьшей.
Это возможно, если точка А будет совпадать с минимумом функции. Найдем его:
$y'(x)=4x^{3}+32=0$
$x^{3}=-8$
$x=-2$ - минимум функции, т.к. производная при переходе через эту точку меняет свой знак с минуса на плюс.
$y(-2)=(-2)^{4}-32*2+49=16+49-64=1$ - это вторая координата точки А.
AH=1, следовательно площадь треугольника равна:
$S_{ABC}=3*AH=3*1=3$

Ответ: 3