Question

Ромб АВСД согнули до диагонали ВД так,что угол между плоскостями АВД и ВСД равен 30 градусов,найти расстояние АС,если ВД=32см,а периметр 80см.

Answer 1

Ромб - это параллелограмм с равными сторонами, значит каждая его сторона равна по 80см/4=20см
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. В итоге, в каждой из плоскостей ABD и BCD находится по два равных прямоугольных треугольника.
Если Н -  точка пересечения диагоналей, то:
$BH= \frac{BD}{2} = \frac{32sm}{2} =16sm$
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. По теореме Пифагора:
$AH= \sqrt{AB^2-BH^2} \\\ AH= \sqrt{(20sm)^2-(16sm)^2} =12sm$
Рассмотрим треугольник АНС. Заданный угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в этих плоскостях. В данном случае этими перпендикулярами являются отрезки диагонали АН и СН, а угол АНС равен 30 градусов. По теореме косинусов:
$AC= \sqrt{AH^2+HC^2-2\cdotAC\cdot HC\cdot \cos AHC} \\\ AC= \sqrt{12^2+12^2-2\cdot12\cdot 12\cdot \cos 30} =12 \sqrt{2-2\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} } =12\sqrt{2- \sqrt{3} }$
Ответ: $12\sqrt{2- \sqrt{3} }$