Question

Срочно! Очень нужно! Помогите решить задачу! Площадь р/б трапеции, меньшее основание и высота соответственно равны 120,9 и 8. Прямая, параллельная её основаниям, делит боковую сторону в отношении 5:3, считая от большего основания. Найти длину отрезка, отсекаемого на этой прямой окружностью, вписанной в треугольник, образуемый основанием, боковой стороной и диагональю. Заранее огромнейшее спасибо!!!!

Answer 1

Для начало найдем  большее основание , она равна $\frac{x+9}{2}*8=120\\ x=21$ , то есть $21$ . 
 Угол  $sinCDA=\frac{4}{5}$ ,боковая  сторона  $\sqrt{ \frac{21-9}{2}^2+8^2}=10$,  тогда  по теореме косинусов , диагональ       $AC=\sqrt{ 10^2+21^2-2*10*21*\frac{3}{5}}=17$ 
Так как в задаче не говорится какое именно основание , большее или меньшее? 
  
Предположим что большее , тогда так как трапеция равнобедренная отбросим  треугольник  $ABC$ , и рассмотрим треугольник $ACD$ , впишем его в координатную    плоскость $OXY$ , так что  $D(6;0) ; \ \ \ A(-15;0 ) ; \ \ \ C(0;8)$  Нам нужно найти $XY$  
Радиус вписанной окружности по формуле  $r=\frac{S}{p}$  $r=\frac{7}{2}$        
Пусть уравнение окружности равна  $(x-a)^2+(y-b)^2=\frac{7}{2}^2$ 
 Уравнения прямых соответственно $CD;CA\\ y=8-\frac{4x}{3}\\ y=8+\frac{8x}{15}$ 
 Подставляя  каждое уравнение прямой ,  в уравнение окружности и решая ,учитывая то что  касательная   (стороны $AC;BD$) имеют одну точку касания с окружностью  , получаем что  (учитываем что дискриминант равен $0$)
 $b=\frac{13-8a}{6}$ для    $CD$ 
 $\frac{16a + 121}{30}$ $AC$ 
 приравниваем    $\frac{13-8a}{6}=\frac{16a+121}{30}\\ a=-1\\ b=\frac{21}{6}$   
 то есть уравнение окружности $(x+1)^2+(y-\frac{21}{6})^2=\frac{49}{4}$
  Найдем координаты точек $N_{x}=\frac{0+\frac{3}{5}*6}{\frac{8}{5}} = \frac{18}{5}*\frac{5}{8} = \frac{9}{4} \\ N_{y} = \frac{ 8 }{\frac{8}{5}} = 5$ 
 $M_{x} = \frac{ -15 * \frac{3}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{-45}{8} \\ M_{y} = 5$ 
  и его уравнение  $y=5$ 
  Решаем систему   
 $\left \{ {{ (x+1)^2+(y-\frac{21}{6})^2 = \frac{49}{4}} \atop {y=5}} \right. \\ x=-1-\sqrt{10}; y=5\\ x= \sqrt{10}-1 ; y=5$ 
 
 $XY=\sqrt{ (-1-\sqrt{10}+1-\sqrt{10} )^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ 
  
 Ответ $2\sqrt{10}$