Question

Для каждого значения параметра а решите уравнение 3^x+3^(-x)=a

Answer 1

По-школьному:
$3^x + 3^{-x} = a \\ \\ 3^x + \dfrac{1}{3^x} = a, \ 3^x = t \ \textgreater \ 0 \\ \\ t + \dfrac{1}{t} = a$

Заметим, что из неравенства Коши следует, что
$t + \dfrac{1}{t} \geqslant 2$ для всех $t \ \textgreater \ 0$.

Поэтому при $a \ \textless \ 2$ решений нет, при $a = 2$ решение $t = 1 \ (x = 0)$, при $a \ \textgreater \ 2$ решаем квадратное уравнение:
$t^2 - at + 1 = 0 \\ D = a^2 - 4 \geqslant 0 \\ \\ t = \dfrac{a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2}$
Оба корня положительны, потому

$x = \dfrac{\ln {\left(a \pm \sqrt{a^2 - 4}\right)} - \ln 2}{\ln 3}$