Question

1)Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=x^3 - 3x + 7 в промежутке x∈[-3;1]
2)Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону s(t)= t^4 - 6t^2 + 4. В какой момент времени скорость движения точки будет наибольшей и какова величина скорости?
3)Число 24 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в три раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

Answer 1

начнем с задачи 1.
y=x^3-3x+7    x∈[-3;1]
y(-3) =(-3^3)-3*(-3)+7=-27+9+7=-11
y(1)=1-3+7=5

y' =3x^2-3=0⇒ x^2=1   x=+1 x=-1 при х=1 считали это 5
у(-1)=-1+3+7=9

Имеем значения 5, 9, -11, наименьшее значение -11 и наибольшее 9.

задача 2
v(t)=s'(t)=4t^3-12t
чтобы найти экстремумы v берем v'=0  12t^2-12=0   t=1  t=-1 - отбрасываем, по знакам v' при t<1 и t>1 видим что в t=1 минимум, а не максимум. v(1)=4-12=-8  но по модулю 8.  Мы можем также найти интервал значений t.  V(t)=4t(t^2-3)   t1=0   t2=√3 (тело остановится).
v(√3)=4*√3^3-12*√3=√3(4*3-12)=0
Максимальная скорость по модулю равна 8 при t=1

задача 3
24=а+в + с, а, в, с>0 и в=3а, то есть
а+3а+с =24⇒4а+с=24 и надо, чтобы
а*в*с =а*3а*с=3а^2*c  с=24-4а
имеем 3а^2(24-4а)=12а^2(6-a)= 72a^2-12a^3  наибольшее?

производная по а рана у'(а)=144а-36а^2=36а(4-а)=0  а=0 или а=4 - берем а=4 так как а>0.
в=3а=12, с=24-4а= 24-16=8
проверим:4+12+8=24   а*в*с=4*12*8=384, кстати.

ответ 24=4+12+8