Question

Прошууу помогите решить
(sin2x-cos2x)^4+cos8x=11/4

Answer 1

$(sin2x-cos2x)^4+cos8x=\frac{11}4$
$(cos2x-sin2x)^4+2cos^24x-1=\frac{11}4$
$cos^44x+2cos^24x=1+\frac{11}4$
$3cos^44x=\frac{15}4$
$cos^44x=\frac{5}4$
$cos4x=+-\sqrt[4]{\frac{5}4}$
$\left[\begin{array}{ccc}4x=+-arccos(\sqrt[4]{\frac{5}4})+2\pi n,n\in Z\\4x=\pi+-arccos(\sqrt[4]{\frac{5}4})+2\pi n,n\in Z\end{array}\right]$

Ответ:
$\left[\begin{array}{ccc}x=+-\frac{1}4arccos(\sqrt[4]{\frac{5}4})+\frac{\pi n}2,n\in Z\\x=\frac{\pi}4+-\frac{1}4arccos(\sqrt[4]{\frac{5}4})+\frac{\pi n}2,n\in Z\end{array}\right]$

Answer 2

$(sin(2x)-cos(2x))^4+cos(8x)=\frac{11}{4}$
используем
$A^4=A^{2*2}=(A^2)^2$

$(sin^2(2x)-2sin(2x)cos(2x)+cos^2(2x))^2+cos(8x)=\frac{11}{4}$
используем основное тригонометрическое тождество
$sin^2 A+cos^2 A=1$
и формулу косинуса двойного угла
$cos(2A)=1-2sin^2 A$

$(1-sin(2*2x))^2+1-2sin^2(8x:2)=\frac{11}{4}$
упрощаем
$(1-sin(4x))^2+1-2sin^2 (4x)=\frac{11}{4}$
подносим к квадрату и переносим слагаемые из правой части в левую
$1^2-2*1*sin(4x)+sin^2(4x)+1-2sin^2(4x)-\frac{11}{4}=0$
упрощаем
$-sin^2(4x)-2sin(4x)-\frac{3}{4}$
множим на -1 (избавляемся от минуса перед квадратом синуса)
$sin^2(4x)+2sin(4x)+\frac{3}{4}=0$
множим на 4 (избавляемся от знаменателя)
$4sin^2(4x)+8sin(4x)+3=0$
вводим замену, учитывая ограниченность синуса по значениям
$sin(4x)=t; -1 \leq t \leq 1$
получаем квадратное уравнение, решаем
$4t^2+8t+3=0$
$D=8^2-4*4*3=16=4^2$
$t_1=\frac{-8-4}{2*4}=-1.5<1$ - не подходит
$t_2=\frac{-8+4}{2*4}=-0.5$
возвращемся к замене
$sin(4x)=-0.5$
$4x=arcsin(-0.5)*(-1)^k+\pi*k$
k є Z
$4x=-\frac{\pi}{6}*(-1)^k+\pi*k$
k є Z
$x=(-1)^{k+1}*\frac{\pi}{24}+\frac{\pi*k}{4}$
k є Z
ответ: $(-1)^{k+1}*\frac{\pi}{24}+\frac{\pi*k}{4}$, k є Z