Question

В некотором треугольнике медиана,
биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят этот угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.

Answer 1

Пусть D -  точка пересечения биссектрисы с описанной вокруг треугольника окружностью. GD || BF, то есть угол FBD = углу BDE = α. Значит BE=ED и BG=GD (как радиусы описанной окружности). Отсюда угол DBG = углу DBE. В свою очередь это означает, что точка G и E совпадают, значит AC - диаметр описанной окружности. Вписанный угол, который опирается на диаметр равен 90 градусов. Следовательно α=22,5, угол ACB = 90, угол ABC = 22.5, а угол BAC = 90 - 22.5 = 67.5