Question

Из центра О вписанной  в равнобедренный треугольник АВС окружности к плоскости этого треугольника проведен перпендикуляр ОМ длиной √17//3 см.Найдите длину перпендикуляра ,проведенного с точки М к основанию треугольника АВС,если его боковая сторона и основа равны 10 см и 16 см соответсвенно.

Answer 1

OK - перпендикуляр из точки О к основанию треугольника.
r = OK.
$p= \frac{a+a+b}{2} \\ p= \frac{10+10+16}{2} =18 \\ r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-a)(p-b)}{p}} = \sqrt{\frac{(18-10)(18-10)(18-16)}{18}}= \\ = \sqrt{ \frac{8*8*2}{18} } =\sqrt{ \frac{64*2}{9*2} } = \frac{8 \sqrt{2} }{3 \sqrt{2}} = \frac{8}{3} =2 \frac{2}{3}$
ΔKOM:
$MK^{2}=OM^{2}+OK^{2} \\ MK^{2}= \frac{17}{9}+ \frac{64}{9} = \frac{81}{9} \\ MK = \sqrt{\frac{81}{9} } = \frac{ 9 }{3}=3$
Ответ: MK = 3

Answer 2

Пусть  D  середина основания  AB  ( AC =BC = 10  ;  AB =16 ;  ED ┴ AB ; OD =r )
MD ┴ AB 
(AB ┴ OD  , но  OD проекция  MD  значит  по ттп  ⇒AB ┴ MD ).

MD =√(MO²+OM²) .
CD =√(AC² - AD)² =√(AC² -(AB/2)²) =√(10²  -8²) =6  * * * = 2*3; 2*4 , 2*5 * * *
S = 1/2*AB*CD =1/2*16*6  =48 ;
r =OD=S/p =48/((10+10+16)/2) =48/18 =8/3.
MD =√(MO²+OM²)  =√(((√17)/3)² +(8/3)²) =√(17/9+64/9) =√9 =3 (см) .
ответ : 3 см .