Question

895 баллов.Нужна помощь бакалавров.
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Answer 1

 Соединим "концы" лучей , получим так же треугольник , обозначим его    
$ADG$ , тогда  $AK$ будет биссектриса угла $BAC;DAE$ , а значит  центры окружностей лежат на одной прямой . 
 Если провести радиусы в точку их касания прямыми лучами ,то углы   
 $AGO_{1}=AFO_{2}$ , значит $R_{1} || R_{2}$ 
Угол    $GKF=90а$ 
Если угол  $GO_{1}K=a\\ FO_{2}K=180-a$  
 По теореме косинусов 
$GK^2 = 2*31^2-2*31^2*cosa\\ FK^2 = 2*32^2+2*32^2*cosa$  
 $GF^2=(31+32)^2-(32-31)^2 = 63^2-1^2$
  откуда 
 $cosa=\frac{1}{63}*-1\\ GBK=180а-arccos(-\frac{1}{63}) \\ BAK=arccos ( - \frac{1}{63})-90а \\ BAC=2*arccos(-\frac{1}{63})-180а$
$BC=\sqrt{63^2-1}=8\sqrt{62}$
 
 $R=\frac{8\sqrt{62}}{2*sinBAC} = 992.25$