Question

Основания равнобокой трапеции равны 30 см и 40 см, а диагональ - 37 см. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Ответ:

$S_{ABCD} = 420$ см²

Объяснение:

Обозначим данную равнобедренную трапецию буквами $ABCD$.

$AB = 30$ см, $CD = 40$ см, $AC = 37$ см.

=======================================================

Проведём высоты $AY$ и $BL$ к основанию данной трапеции $CD$.

$AY = BL$, так как $ABLY$ - прямоугольник.

Так как $AY$ и $BL$ - высоты ⇒ $\triangle DAY$ и $\triangle CBL$ соответственно - прямоугольные.

Так как данная трапеция - равнобедренная ⇒ $\triangle DAY = \triangle CBL$, по гипотенузе и острому углу ($AD = BC$, по свойству равнобедренной трапеции; $\triangle D = \triangle C$, по свойству равнобедренной трапеции).

$CL = DY = \dfrac{CD - AB}{2} = \dfrac{40 - 30}{2} = 5$ см.

Т.е. $YL = 30$ см, а $YC = 35$ см.

$\triangle AYC$ - прямоугольный, так как $AY$ - высота.

Найдём высоту $AY$ по теореме Пифагора $(a^2 = c^2 - b^2)$

$AY = \sqrt{AC^2 - YL^2} = \sqrt{37^2 - 35^2} = \sqrt{144} = 12$ см.

$S_{ABCD} = \dfrac{AB + CD}{2 \cdot AY} = \dfrac{30 + 40}{2 \cdot 12} = 420$ см²