Question

Вопрос: Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду.Их общая высота равна 9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1.Найти разность объемов пирамиды и конуса

Answer 1

Объем пирамиды, как и объем конуса, равен 1/3 произведения площади основания на высоту фигуры. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат.
Основание конуса - вписанный в основание пирамиды круг.
Высота дана в условии.
Сторона  АД основания пирамиды равна диаметру КН основания конуса. Её нужно найти.
Построим осевое сечения конуса МКЕ. Оно идентично осевому сечению пирамиды. проведенному через ее апофемы, т.к. образующие конуса совпадают с ними. Это сечение является равнобедренным треугольником, основание КЕ которого равно диаметру конуса и стороне основания пирамиды.
Рассмотрим рисунок.
Т - точка касания вписанной в конус сферы и образующей конуса ( грани пирамиды).
Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, перпедникулярен касательной.
Прямоугольные треугольники МТО и МНА - подобны, у них общий острый угол при М.
МН=9/4=2,25
МО=МН-r= 1,25
По т. Пифагора
МТ²=МО²-ТО²
МТ²= (2,25)²-1
МТ=0,75
Из подобия треугольников
МТ:МН=ТО:КН
0,75:2,25=1:КН
0,75 КН=2,25
КН=3 - это радиус основания конуса и равен половине длины стороны квадрата в основании пирамиды.
Площадь АВСД=(2*3²=)36
Объем пирамиды 
V п=36*2,25:3=27
Площадь основания конуса 
S=πr²=π*9
Объем конуса
V к=π*9*Н:3=π*3²*2,25:3=π*9*0,75=π*6,75
Vп=27=4*6,75
Разность объемов пирамиды и конуса
V п- V к=4*6,75-π*6,75=6,75*(4-π) или ≈ 5,8 единиц объема