Question

Найдите точки экстремума и определите их характер:
1)y=2x^3-10x^2+6x
2) y=x^3+3x^2-9x-2
3)y=x^3-x^2-x+3
4)y=x^3+x^2-5x-3

Answer 1

1)y=2x^3-10x^2+6x
   y' = 6x²-20x+6
Приравниваем нулю и находим критические точки:
6x²-20x+6 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-20)^2-4*6*6=400-4*6*6=400-24*6=400-144=256;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√256-(-20))/(2*6)=(16-(-20))/(2*6)=(16+20)/(2*6)=36/(2*6)=36/12=3;
x₂=(-√256-(-20))/(2*6)=(-16-(-20))/(2*6)=(-16+20)/(2*6)=4/(2*6)=4/12=1/3≈0.333333333333333.
Теперь определяем, какая точка минимум, а какая максимум.
Для этого надо определить, как ведёт себя производная вблизи критической точки.
Уравнение производной - это парабола, При положительном коэффициенте при х² её ветви направлены вверх.
Левая ветвь пересекает ось х с плюса на минус, поэтому точка  х = 1/3 - это максимум, правая ветвь в точке х = 3 - с минуса на плюс  - это минимум.

2) y=x^3+3x^2-9x-2
     y' = 3x² + 6x - 9 = 0
можно сократить на 3:
х² + 2х - 3 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=2^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1;
x₂=(-√16-2)/(2*1)=(-4-2)/2=-6/2=-3.
-3 - это максимум, 1 - минимум.

3) y=x^3-x^2-x+3
     y' = 3x² - 2x -1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*3*(-1)=4-4*3*(-1)=4-12*(-1)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-(-2))/(2*3)=(4-(-2))/(2*3)=(4+2)/(2*3)=6/(2*3)=6/6=1;
x₂=(-√16-(-2))/(2*3)=(-4-(-2))/(2*3)=(-4+2)/(2*3)=-2/(2*3)=-2/6=                 = -(1/3) ≈ -0.333333333333333.
-1/3 - максимум, 1 минимум.

4)y=x^3+x^2-5x-3
    y' = 3x² + 2x - 5 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=2^2-4*3*(-5)=4-4*3*(-5)=4-12*(-5)=4-(-12*5)=4-(-60)=4+60=64;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√64-2)/(2*3)=(8-2)/(2*3)=6/(2*3)=6/6=1;
x₂=(-√64-2)/(2*3)=(-8-2)/(2*3)=-10/(2*3)=-10/6=
= -(5/3) ≈ -1.66666666666667.
-5/3 - максимум, 1 - минимум.