Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ!!! надо решить этот интеграл и придти к такому ответу!!!
использовать интегрирование по частям.

Answer 1

$\int ln^2(2x)dx=[\, u=ln^2(2x),\; du=2ln(2x)\cdot \frac{2}{2x}dx,\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot ln^2(2x)-2\int x\cdot ln(2x)\cdot \frac{dx}{x}=x\cdot ln^22x-2\int ln2x\cdot dx=\\\\=[\, u=ln2x,\; du=\frac{2dx}{2x},\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot ln^22x-2\cdot (x\cdot ln2x-\int x\cdot \frac{dx}{x})=x\cdot ln^22x-2x\cdot ln2x+2x+C=\\\\=x\cdot (ln^22x-2\cdot ln2x+2)+C=\\\\=x\cdot ((ln2+lnx)^2-2(ln2+lnx)+2)+C\\\\\\P.S.\; \; ln(xy)=lnx+lny\; \; \to \; \; ln2x=ln2+lnx$