Question

Решите неравенство !!!!!

$log _{5-x} (5+9x-2x^2) +log _{1+2x} (x^2 -10x +25)^2 \leq 5$

Answer 1

1) Разложим выражения под логарифмами на множители:
1.1) $5+9x-2x^{2}=0$
$-2x^{2}+9x+5=0, D=81+4*5*2=121=11^{2}$
$x_{1}= \frac{-9-11}{-4}=5$
$x_{2}= \frac{-9+11}{-4}=-0.5$
$-2x^{2}+9x+5=-2*(x+0.5)(x-5)$
1.2) $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$
2) Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$5-x\ \textgreater \ 0$
$5-x \neq 1$
$-2*(x+0.5)(x-5)\ \textgreater \ 0$
$1+2x\ \textgreater \ 0$
$1+2x \neq 1$
$(x-5)^{4}\ \textgreater \ 0$

$x\ \textless \ 5$
$x \neq 4$
$-0.5\ \textless \ x\ \textless \ 5$
$x\ \textgreater \ -0.5$
$x \neq 0$

Общее решение ОДЗ: x∈(-0.5;0)U(0;4)U(4;5)

3) $log_{5-x}(2*(x+0.5))+log_{5-x}(5-x)+log_{1+2x}(x-5)^{4} \leq 5$
$log_{5-x}(1+2x)+1+4log_{1+2x}(5-x) \leq 5$
$log_{5-x}(1+2x)+4log_{1+2x}(5-x) \leq 4$

Замена: $log_{1+2x}(5-x)=t$

$log_{5-x}(1+2x)= \frac{1}{log_{1+2x}(5-x)}=\frac{1}{t}$
$\frac{1}{t}+4t \leq 4$
$\frac{1+4t^{2}-4t}{t} \leq 0$
$4t^{2}-4t+1=(2t-1)^{2}$

t∈(-бесконечность; 0) - решение неравенства

4) Вернемся к замене:
$log_{1+2x}(5-x)\ \textless \ 0$
4.1) $\left \{ {{1+2x\ \textgreater \ 1} \atop {5-x\ \textless \ 1}} \right.$

$\left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 4}} \right.$

$x\ \textgreater \ 4$ - решение

4.2) $\left \{ {{0\ \textless \ 1+2x\ \textless \ 1} \atop {5-x\ \textgreater \ 1}} \right.$

$\left \{ {{-0.5\ \textless \ x\ \textless \ 0} \atop {x\ \textless \ 4}} \right.$

$-0.5\ \textless \ x\ \textless \ 0$ - решение

5) Сравним с ОДЗ, получим окончательное решение неравенства:
x∈(-0.5;0)U(4;5) - ответ