Question

Найти значение параметра, хотя бы один корень.

$a^{2} -10a+ 5\sqrt{ x^{2} +25} =4|x-5a|-8|x|$

Answer 1

 Перенесем $a^2-10a$ в правую часть , получим  $4|x-5a|-8|x|-(a^2-10)$ , впишем функцию $y=4|x-5a|-8|x|-(a^2-10)$ 
Рассмотрим два случая когда $a \geq 0; a\ \textless \ 0$ 
Случаи  $a \geq 0$ при этом решения $y=0$ будут        
 
 $4|x-5a|-8|x|-(a^2-10a)=0\\ x \geq 0\\ a \geq 0$ 
 Получаем две точки  
 $-----0-------5a-----\ \textgreater \ \\ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -$
  То есть получим два решения 
 $20a-4x+8x-a^2+10a=0\\ x=\frac{a^2-30a}{4}\\ 20a-4x-8x-(a^2-10a)=0\\ -12x+30a-a^2=0\\ x=\frac{30-a^2}{12}$
 
 Случаи  $a\ \textless \ 0$ 
Получаем  так же два случая , и решения его 
 $x=\frac{a^2+10a}{12}\\ x=\frac{-a^2-10a}{4}$ 
  
 То есть график  ломанной прямой проходит через   выше сказанные  точки ,  максимальное значение достигает при  
  $x=0\\ a\ \textless \ 0 \\ 20a-(a^2-10a) \\\\ a \geq 0 \\ -20a-(a^2-10a)$ 
  
 График левой части   
 $y=5\sqrt{x^2+25}$ , парабола , $x^2 \neq -25\\ f(0)=25$  , то есть ветви направлены вверх , и минимальное значение  достигается в точке  $x=0; f_{min}=25$ 
  
 Значит   нужно решить неравенство  
 $1)-20a-(a^2-10a) \geq 25 \\ a\ \textless \ 0\\ -20a-a^2+10a \geq 25\\ -a^2-10a-25 \geq 0 \\ a^2+10a+25 \leq 0\\ a=-5 \ \textless \ 0\\\\ 2)20a-(a^2-10a) \geq 25\\ 20a-a^2+10a-25 \geq 0\\ a^2-30a+25 \leq 0\\ D=900-4*1*25\\ a=15-10\sqrt{2}\\ a=15+10\sqrt{2}$ 

 То есть ответ $a \in -5 \ \cup [ 15-10 \sqrt{2} ; 15+10\sqrt{2}]$