Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной заданными линиями:
1)y= -x^2+4,y=0
2)y=√x,y=2,x=0

Answer 1

Первая фигура:
$\displaystyle 0=-x^2+4 \implies x=-2\lor 2;$
$\displaystyle S=\int\limits_{-2}^2\bigg(-x^2+4\bigg)dx=-\int\limits_{-2}^2 x^2 dx + 4\int\limits_{-2}^2 dx=-\Big(\frac{x^2}{2}\Big)\bigg|_{-2}^2+4x\bigg|_{-2}^2=-\frac{2^2}{2}+\frac{(-2)^2}{2}+4(2+2)=-2+2+4\cdot 4=16.$

Вторая фигура:
$\displaystyle 2=\sqrt{x} \implies x=4;$
$\displaystyle{S=2\cdot 4-\int\limits_0^4 \sqrt{x}dx=8-\Big(\frac{2}{3}x^{3/2}\Big)\bigg|_0^4=8-\frac{2}{3}\sqrt{4^3}=8-\frac{2}{3}8=\frac{8}{3}.}$

Вместо графиков использовалось воображение. :)