Question

Помогите пожалуйста, нужно найти значение у(1/е). Решение начала, правильно ли у меня и как дальше вычислить значение?

Answer 1

$xy'=y+e^{\frac{y}{x}}\; ,\; y(1)=0\\\\y'=\frac{y}{x}+\frac{1}{x}e^{\frac{y}{x}}\\\\u=\frac{y}{x},y=ux,\; y'=u'x+u}\\\\u'x+u=u+\frac{1}{x}e^{u}\\\\\frac{du}{dx}=\frac{e^{u}}{x^2}\\\\\frac{du}{e^{u}}=\frac{dx}{x^2}\\\\\int e^{-u}\, du=\int x^{-2}\, dx\\\\-e^{-u}=-\frac{1}{x}+C$

$-e^{-\frac{y}{x}}=-\frac{1}{x}+C\\\\y(1)=0\; \; \to \; \; -e^{0}=-1+C\; \to \; \; C=0\\\\-e^{-\frac{y}{x}}=-\frac{1}{x}\; \; \to \\\\e^{-ey}=e\; ,\; \to \; \; -ey=1\; \to \; y=-\frac{1}{e}\\\\y(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}$

Answer 2

Почти. Ошибка при разделении переменных. Правильно до этого момента:
$\displaystyle x^2\frac{du}{dx}=e^u.$
Следующий переход содержит ошибку. Нужно делить на $\displaystyle du$:
$\displaystyle \frac{x^2}{dx}=\frac{e^u}{du};$
затем возводить в минус первую степень:
$\displaystyle \frac{dx}{x^2}=\frac{du}{e^u};$
и интегрировать:
$\displaystyle \int \frac{dx}{x^2}=\int e^{-u}du;$
$\displaystyle \int x^{-2}dx=-\int e^{-u}d(-u);$
$\displaystyle -\frac{1}{x}+C=-e^{-u};$
$\displaystyle \frac{1}{x}+C=e^{-u}.$
Делаем обратную замену $\displaystyle u=y/x$:
$\displaystyle \frac{1}{x}+C=e^{-y/x}.$
Осталось всего-лишь решить уравнение для $\displaystyle y(x)$.
Прологарифмируем обе части:
$\displaystyle ln\left(\frac{1}{x}+C\right)=ln\left(e^{-y/x}\right);$
вычислим логарифмы:
$\displaystyle ln\left(\frac{1}{x}+C\right)=-\frac{y}{x};$
умножим обе части на $\displaystyle -x$:
$\displaystyle -xln\left(\frac{1}{x}+C\right)=y;$
получено множество функций $\displaystyle y(x)$:
$\displaystyle y(x)=-xln\left(\frac{1}{x}+C\right).$
Известно, что для нужной функции из полученного множества функций, удовлетворяющих исходному дифференциальному уравнению, выполняется $\displaystyle x=1 \implies y(x)=0;$ это даст значение произвольной постоянной $\displaystyle C$ решением уравнения:
$\displaystyle 0=-1\cdot ln\left(\frac{1}{1}+C\right)=-ln\left(1+C\right);$
потенцируя по основанию $\displaystyle e$ получаем:
$\displaystyle e^0=e^{-ln\left(1+C\right)};$
$\displaystyle 1=\frac{1}{e^{ln\left(1+C\right)}}=\frac{1}{1+C};$
умножим на $\displaystyle 1+C$:
$\displaystyle 1+C=1 \implies C=0.$
То есть искомая функция $\displaystyle y(x)$ найдена:
$\displaystyle y(x)=-xln\left(\frac{1}{x}\right).$
Осталось вычислить значение в точке $\displaystyle x=\frac{1}{e}$:
$\displaystyle y\Big(\frac{1}{e}\Big)=-\frac{1}{e}ln\left(\frac{1}{1/e}\right)=-\frac{1}{e}ln(e)=-\frac{1}{e}.$
Ответ:
$\displaystyle \boxed{y\Big(\frac{1}{e}\Big)=-\frac{1}{e}.}$