Question

Решите уравнение по тригонометрии
$sin4x+cos^22x=2$

Answer 1

Область значений функций y=sin(kx) и y=cos(kx): Е(у)=[-1; 1]
Область значений функций y=sin²(kx) и y=cos²(kx): Е(у)=[0; 1]

$\sin4x+\cos^22x=2$
В данном случае каждое из слагаемых в левой части принимает значение не больше 1. Значит, чтобы сумма двух таких слагаемых оказалась равна 2 нужно, чтобы каждое слагаемое равнялось 1.
Составляем и решаем систему:
$\left \{ {{\sin4x=1} \atop {\cos^22x=1}} \right. \\\ \left \{ {{\sin4x=1} \atop {\cos2x=\pm1}} \right. \\\ \left \{ {{4x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n} \atop {2x= \pi n}} \right. \\\ \left \{ {{x= \frac{ \pi }{8}+ \frac{ \pi n}{2} } \atop {x= \frac{\pi n}{2} }} \right.$
Видно, что первое и второе слагаемое принимают максимальное значение в разных точках, значит сумму, равную 2, получить невозможно.
Ответ: нет решений