Question

Логарифмическое неравенство. Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

Для начала записываем ОДЗ
$\frac{x}{x-1} \ \textgreater \ 0$
$\frac{x}{x-1} \neq 1$
$\frac{x}{2} \ \textgreater \ 0$
$\frac{x}{2} \neq 1$
$x \neq 1$

Дальше перевернем логарифмы, перейдем к основанию 5.
$\frac{1}{log \frac{x}{yx-1} } \leq \frac{1}{log \frac{x}{2} }$
$log _{5} \frac{x}{x-1} \geq log _{5} \frac{x}{2}$
Основание логарифма 5>1, значит при переходе к алгебраическому неравенству менять знак неравенства не надо.
$\frac{x}{yx-1} \geq \frac{x}{2}$
$\frac{2x}{x-1} \geq \frac{x(x-1)}{x-1}$
$\frac{- x^{2} +3x}{x-1} \geq 0$
$\frac{x(3-x)}{x-1} \geq 0$

На числовую ось наносим все нули дробно рационального уравнения и ОДЗ. то есть x=0, x=3 и $x \neq 1$
Расставляем знаки в интервалах. получаем ответ (-∞,0] U (1, 3]
теперь проверим, все ли из ответа входит в ОДЗ.
Точка x=2 выкидываем из ответа, и промежуток (-∞,0]. 
В ответ пойдет (1,2)U(2,3]