Question

$\left \{ {{ x^{2} + y^{2} -xy =61} \atop {x+y- \sqrt{xy} =7}} \right.$. Помогите решить систему уравнений.

Answer 1

Пусть x+y=a,√xy=b
(x+y)²=a²,xy=b²
x²+y²=(x+y)²-2xy=a²-2b²
Получим
a²-2b²-b²=61
a-b=7⇒a=b+7
(b+7)²-3b²-61=0
b²+14b+49-3b²-61=0
2b²-14b+12=0
b²-7b+6=0
b1+b2=7 U b1*b2=6
b1=1⇒a1=8
x+y=8 U xy=1
x=8-y
(8-y)y=1
y²-8y+1=0
D=64-4=60
y1=(8-2√15)/2=4-√15⇒x1=8-4+√15=4+√15
y2=4+√15⇒x2=8-4-√15=4-√15
b2=6⇒a2=13
x+y=13 U xy=36
Воспользуемся теоремой Виета
x3=4 U y3=9
x4=9 b y4=4
Ответ (4+√15;4-√15);(4-√15;4+√15);(4;9);(9;4)