Question

Точки экстремума. Подскажите, пожалуйста, у меня с ответом не сходится.
$y=-5 x^{5}+3 x^{3}$

Три корня я нашел без проблем: х=0, x=3/5, x=-3/5
Поэтому у меня:
т.min = 3/5
т.max = -3/5

Но в ответе наоборот! т.min = -3/5 т.max = 3/5

Помогите разобраться, как после нахождения корней мы находим точки экстремума? Что же я делаю не так? И возможно ли, что в ответе будет несколько точек минимума или максимума?

Answer 1

y = - 5 x^5 + 3x^3;
 y'(x) = - 25 x^4 + 9 x^2 = 9 x^2 - 25 x^4;

 9 x^2 - 25 x^4= 0;
9x^2 ( 1 - 25x^4 / 9) = 0;
(3x)^2 * ( 1- 5x/2) (1+ 5x/2) = 0;
x1 = 0; Четный корень, так как он повторяется 
x2 = - 2,5;
 x3 = 2,5.
Теперь методом интервалов определим знаки производной
y'    +                      -            четн      -                          +
________- 2,5 _________0____________2,5_________x
y возр                  убыв                   убыв              возр.
              max                                             min
Находим знаки производной на этих промежутках , подставляя числа из промежутков в в уравнение производной y'=9 x^2 - 25 x^4;
значение х= 3 - это число из самой правой области (0т 2,5 до бескон-ти). Дальше чередуем, не забываем о том, что через точку х=0 проходим, не меняя знак.
Таким образом , точка минимума   - это точка х = 2,5. Именно в ней производная меняет знак с плюса на минус.
У Вас получилось 2 точки минимума, потому что Вы наверняка не учли, что здесь 4 корня, 2 из которых одинаковые (х=0   и х =0). При переходе через корень четной степени( в данном случае второй степени) знак не меняется