Question

помогите с уравнением
$log_{2} (6sin^{2} x+5 \sqrt{2} sinx-8 + 2^{x} )=x$

Answer 1

Логарифм - это показатель степени, в которую нужно возвести основание,
чтобы получить число под логарифмом.
2^x = 6sin^2 x + 5√2*sin x - 8 + 2^x
6sin^2 x + 5√2*sin x - 8 = 0
Это обыкновенное квадратное уравнение относительно sin x
D = (5√2)^2 - 4*6(-8) = 25*2 + 24*8 = 50 + 192 = 242 = 121*2 = (11√2)^2
sin x = (-5√2 - 11√2)/12 = -16√2/12 < -1 - не подходит
sin x = (-5√2 + 11√2)/12 = 6√2/12 = √2/2
x1 = pi/4 + 2pi*k
x2 = 3pi/4 + 2pi*n
Или, как в школе учат:
x = (-1)^k*pi/4 + pi*k

Answer 2

По определению логарифма:
$2^x=6sin^2x+5 \sqrt{2}sinx-8+2^x$
$6sin^2x+5 \sqrt{2}sinx-8=0$
Замена: $sinx=t, |t| \leq 1$
$6t^2+5 \sqrt{2}t-8=0$
$D=25*2+4*6*8=242=2*121$
$t_1= \frac{-5 \sqrt{2}-11 \sqrt{2} }{12}= \frac{-16 \sqrt{2} }{12}=-1,88\ \textless \ -1$
$t_2= \frac{-5 \sqrt{2}+11 \sqrt{2} }{12}= \frac{6 \sqrt{2} }{12}= \frac{ \sqrt{2} }{2}$
$sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2}$
$x_1= \frac{\pi}{4}+2\pi n, n$∈Z
$x_2= \frac{3\pi}{4}+2\pi k, k$∈Z