Question

помогите пожалуйста решить
$(16^{x} - 5* 4^{x} )^{2} - 172(16^{x} - 5* 4^{x} ) - 704 \leq 0$

Answer 1

4^(2x) - 5*4^x  = t .
t² - 172t -704 ≤ 0 ;
 - 4 ≤ t ≤ 176 ;
 - 4 ≤  4^(2x) - 5*4^x  ≤ 176.   * * * y =4^x >0  * * *
{y² -5y +4 ≥0 ; y² -5y -176 ≤0 .{ [ y ≤1 ;y≥4 ; -11≤y ≤ 16 .
y ∈[ -11;1] U [4;16] .
учитывая  ,что y =4^x >0 получим :
[ 0 < 4^x ≤ 1 ; 4≤4^x ≤16.
x∈( -∞; 0] U [1;2] .

ответ : x∈ ( -∞; 0] U [1;2] .

Answer 2

Подробное решение:
Замена: $16^x-5*4^x=y$
$y^2-172y-704 \leq 0$
$D=29584+4*704=32400, y_1= \frac{172-180}{2}=-4, y_2= \frac{172+180}{2}=176$
$(y+4)(y-176) \leq 0$
  +      -      +
-----.------.-------> y∈[-4;176], $-4 \leq y \leq 176$
    -4    176
Возвращаемся к замене: $-4 \leq 16^x-5*4^x \leq 176$
(1) Левое неравенство: $16^x-5*4^x \geq -4$ и (2) правое: $16^x-5*4^x \leq 176$
(1) $16^x-5*4^x+4 \geq 0$ (2) $16^x-5*4^x-176 \leq 0$
Замена: $4^x=t\ \textgreater \ 0$
(1) $t^2-5t+4 \geq 0, (2) t^2-5t-176 \leq 0$
$(1) D=9, t_1=1, t_2=4; (2) D=729, t_1=-11, t_2=16$
$(1) (t-1)(t-4) \geq 0; (2) (t+11)(t-16) \leq 0$
        +      -      +                       +         -        +
(1)   ----.------.------->;        (2)  -----.--------.-------->
            1      4                             -11      16
 (1) t∈(-∞;1]υ[4;+∞);         (2) t∈[-11;16]
 Из (1) и (2) => t∈[-11;1]υ[4;16], но t>0 => t∈(0;1]υ[4;16].
Возвращаемся к замене: $0\ \textless \ 4^x \leq 1$ в объединении с $4 \leq 4^x \leq 16$. Получаем -∞<x≤0 в объединении с 1≤x≤2.
Ответ: x∈(-∞;0]υ[1;2].