Question

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD . На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O , касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q – середина стороны CD. а) Докажите, что OQDH – параллелограмм.(Это я доказал)б)Найдите AD, если угол ВAD =75° и BC=1

Answer 1

a) очень легко - OH II CD, потому что составляют равные углы с AD, так как трапеция равнобедренная по условию, а треугольник AOH равнобедренный, OA = OH = R; - радиус построенной окружности.
Понятно, что и OQ II AD, как средняя линия.
Теперь еще обозначения. K - точка касания окружности с CD, OK = R, разумеется. Далее, ∠BAD = α = 75°; ясно, что ∠OHA = ∠CDA = ∠CQO = α;
Основания я обозначу, как AD = a; BC = b = 1;
Кроме того, пусть прямая BN II CD, и точка N лежит на AD.
б) Ясно, что DN = b; кроме того, HN = AH, так как OH II BN и AO = OB;
AH = 2Rcos(α);
AD = AH + HN + ND
a = b + 4Rcos(α);
Из треугольника OKQ
OQ*sin(α) = R; но OQ - средняя линия трапеции
(a + b)*sin(α)/2 = R;
Окончательно
a = b + (a + b)*sin(2α);
a = b*(1 + sin(2α))/(1 - sin(2α));
Это - решение в общем виде.
Теперь, если подставить b = 1; sin(2α) = sin(150°) = 1/2;
получится AD = 3