Question

"Запишите уравнение окружности радиусом см 5, которая проходит через точку (-1; 6) , а еѐ центр находится на биссектрисе первой координатной четверти.

Answer 1

По условию есть некоторая точка $A$ $(-1;6)$,  через которую проходит окружность $R=5$

Уравнение окружности с центром в точке $(a;b)$ имеет вид:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Учитывая, что центр окружности находится на биссектрисе первой координатной четверти, то $a\ \textgreater \ 0,$  $b\ \textgreater \ 0$ и $a=b$

Тогда подставим в уравнение окружности:

$(-1-a)^2+(6-a)^2=5^2$

$(1+a)^2+(6-a)^2=25$

$1+2a+a^2+36-12a+a^2=25$

$1+2a+a^2+36-12a+a^2-25=0$

$2a^2-10a+12=0$

$a^2-5a+6=0$

$D=(-5)^2-4*1*6=25-24=1$

$a_1= \frac{5+1}{2} =3$

$a_2= \frac{5-1}{2} =2$

$(2;2)$  и $(3;3)$ - центры искомых окружностей.

Подставим в общее уравнение окружности  и получим искомые уравнения окружностей:

$(x-2)^2+(y-2)^2=25$

$(x-3)^2+(y-3)^2=25$