Question

найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=-x^2 -4x-3 и y=3x-3

Answer 1

$\displaystyle y_1(x)=-x^2-4x-3;$
$\displaystyle y_2(x)=3x-3;$

$\displaystyle y_1(x)=0 \implies 0=x^2+4x+3 \implies x=-3 \lor x=-1;$
$\displaystyle y_1(x)=y_2(x) \implies 0=x^2+7x \implies x=-7 \lor x=0;$

$\displaystyle S=\int\limits_{-7}^{-3}y_1(x)\text{d}x-\int\limits_{-7}^{-3}y_2(x)\text{d}x+\int\limits_{-3}^{-1}y_1(x)\text{d}x-\int\limits_{-3}^{-1}y_2(x)\text{d}x-\int\limits_{-1}^{0}y_2(x)\text{d}x+\int\limits_{-1}^{0}y_1(x)\text{d}x=$

$\displaystyle =\int\limits_{-7}^{-1}y_1(x)\text{d}x-\int\limits_{-7}^{-1}y_2(x)\text{d}x-\int\limits_{-1}^{0}y_2(x)\text{d}x+\int\limits_{-1}^{0}y_1(x)\text{d}x=$

$\displaystyle =\int\limits_{-7}^{0}y_1(x)\text{d}x-\int\limits_{-7}^0y_2(x)\text{d}x=\bigg(-\frac{x^3}{3}-2x^2-3x\bigg)\Bigg|_{-7}^0-\Big(1.5x^2-3x\Big)\Bigg|_{-7}^0=$

$\displaystyle =\boxed{-\frac{343}{2}}\phantom{.}.$