Question

Вычислить двойной интеграл$\int\limits^p_0 {} \, dx$ $\int\limits^a_0 {y cos^{2} } \, xdy$

Answer 1

$\int\limits^{2 \pi }_0 {} \, dx \int\limits^a_0{ycos^{2}x} \, dy=\int\limits^{2 \pi }_0 {cos^{2}x} \, dx \int\limits^a_0{y} \, dy=\int\limits^{2 \pi }_0 {cos^{2}x} \, dx \frac{ y^{2} }{2} \int\limits^a_0=\int\limits^{2 \pi }_0 { \frac{a^{2}}{2} cos^{2}x} \, dx$$=\frac{a^{2}}{2}\int\limits^{2 \pi }_0 { cos^{2}x} \, dx =\frac{a^{2}}{2}\int\limits^{2 \pi }_0 {( \frac{1+cos2x}{2} )} \, dx=\frac{a^{2}}{2}(\int\limits^{2 \pi }_0 {( \frac{1}{2} )} \, dx+\int\limits^{2 \pi }_0 {( \frac{cos2x}{2} )} \, dx)$$\frac{a^{2}}{2}(\frac{1}{2}\int\limits^{2 \pi }_0 {} \, dx+\frac{1}{4}\int\limits^{2 \pi }_0 {cos2x } \, d(2x))=\frac{a^{2}}{2}( \frac{x}{2} + \frac{sin2x}{4} ) \int\limits^{2 \pi }_0=\frac{a^{2}}{2}( \frac{2 \pi }{2} + \frac{sin4 \pi }{4}-0)$$= \frac{a^{2} \pi }{2}$