Question

Вычислить интеграл , используя метод интегрирования по частям.
∫5x lnx dx. С объяснениями

Answer 1

1) Вынесем константу: $5 \int{ x \cdot \ln{x}} \, dx$
2) Интегрируем по частям ($\int udv = uv - \int vdu$)
$u= \ln{x},\ du= \frac{dx}{x}; \ \ dv=x; \ v= \frac{x^{2}}{2}$
$5 \cdot (\ln{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{dx}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} )=5 \cdot (\frac{x^{2}\cdot \ln{x} }{2} - \int \frac{x}{2}dx )$$=5 \cdot (\frac{x^{2}\cdot \ln{x} }{2} - \frac{1}{2}\int xdx )=5 \cdot (\frac{x^{2}\cdot \ln{x} }{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} )+C=$$5x^{2} \cdot (\frac{\ln{x} }{2} - \frac{1}{4} )+C$