Question

Высота АН и медиана АМ треугольника АВС делят угол ВАС на р равные части, причем точка Н лежит между точками В и М. Из точки М опущен перпендикуляр МК на сторону АС.
а) Докажите, что МК=ВН.
б) Найдите углы треугольника АВС.

Answer 1

a) В треугольнике ABM AH - высота и биссектриса. Поэтому это равнобедренный треугольник, и BH = HM (то есть в ЭТОМ треугольнике AH еще и медиана).
В треугольнике AHC AM - биссектриса, поэтому точка M равноудалена от прямых AH и AC, то есть MK = HM = BH;
б) Поскольку HM = BM/2 = MC/2; и AM - биссектриса угла HAC; то
AH/AC = HM/MC = 1/2; то есть в прямоугольном треугольнике AHC катет равен половине гипотенузы. Поэтому ∠ACH = 30°;
=> ∠HAC = 60°; => ∠HAB = 30°; => ∠ABC = 60°; ∠BAC = 90°;