Question

. В трапеции AВCD основания ВС и AD относятся как 1:2. Пусть K- середина диагонали AC. Прямая DK пересекает сторону AB в точке L.
а) Докажите, что AL =2BL.
б) Найдите площадь четырехугольника BCKL, если известно, что площадь трапеции ABCD равна 9 .

Answer 1

Если продлить  $LD$ , за  $AB$  получим треугольник  $BLN$  $N$ лежит на     продолжении прямой $BC$ 
Треугольники $\Delta BLN \ \Delta ABL$ подобные 
$\frac{BN}{AB}=\frac{BL}{AL} \\ \frac{BN}{2x}=\frac{BL}{AL}\\ \frac{BN+x}{2x}=\frac{AK}{KC}=1\\ BN=x\\ \frac{x}{2x}=\frac{BL}{AL} \\ AL=2BL$ 
 $S_{ALD } = 4*S_{BNL }$
   
 $h_{1};h_{2}$ высоты треугольников  $NBL;ALD$ , но тогда 
 $S_{ABCD} = \frac{3x*(h_{1}+h_{2})}{2}=9 \\\\ S_{BNL}+S_{AKD}=\frac{xh_{1} }{2}+x_{2}h$ $S_{BNL}+S_{ALD} = \frac{6-S_{ALD}}{2} + S_{ALD} = \frac{5S_{ALD}}{4}\\ S_{ALD}=4\\ S_{BNL}=1 \\ 2( 1+S_{BLKC})+(4-1-S_{BLKC})+S_{BLKC}=9\\ S_{BKLC}=2$
 то есть получим в сумме