Question

Помогите решить tg x - tg 2x = sin x

Answer 1

$\frac{sinx}{cosx}- \frac{2tgx}{1-tg^{2}x}=sinx$
$\frac{sinx}{cosx}- \frac{ \frac{2sinx}{cosx}}{1- \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}=sinx$
$\frac{sinx}{cosx}- \frac{ \frac{2sinx*cos^{2}x}{cosx}}{cos^{2}x-sin^{2}x}=sinx$
$\frac{sinx}{cosx}- \frac{2sinx*cosx}{cos^{2}x-sin^{2}x}=sinx$
$\frac{sinx*(cos^{2}x-sin^{2}x)-2sinx*cos^{2}x}{cosx*(cos^{2}x-sin^{2}x)}=sinx$
$sinx*(cos^{2}x-sin^{2}x)-2sinx*cos^{2}x=sinx*cosx*(cos^{2}x-sin^{2}x)$
$sinx*cos^{2}x-sin^{3}x-2sinx*cos^{2}x=sinx*cos^{3}x-sin^{3}x*cosx$
$sinx*cos^{2}x-sin^{3}x-2sinx*cos^{2}x-sinx*cos^{3}x+sin^{3}x*cosx=0$
$(-sinx*cos^{2}x-sinx*cos^{3}x)+(sin^{3}x*cosx-sin^{3}x)=0$
$-sinx*cos^{2}x(1+cosx)+sin^{3}x*(cosx-1)=0$
$sinx*(-cos^{2}x*(1+cosx)+sin^{2}x*(cosx-1))=0$
$sinx*(-cos^{2}x-cos^{3}x+sin^{2}x*cosx-sin^{2}x)=0$
$sinx*(-cos^{2}x-cos^{3}x+(1-cos^{2}x)*cosx-1+cos^{2}x)=0$
$sinx*(-cos^{3}x+cosx-cos^{3}x-1)=0$
$sinx*(-2cos^{3}x+cosx-1)=0$
1) $sinx=0$
$x= \pi k$, k∈Z
2) $-2cos^{3}x+cosx-1=0$
$2cos^{3}x-cosx+1=0$
2.1) $cosx=-1$
$x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$, k∈Z
2.2) $2cos^{3}x-cosx+1=(cosx+1)(2cos^{2}x-2cosx+1)=0$
$2cos^{2}x-2cosx+1=0$

Замена: $cosx=t$,  t∈[-1;1]
$2t^{2}-2t+1=0, D=4-4*1*4=-12\ \textless \ 0$ - нет решений

3) Объединим получившиеся решения в одно:
$x= \frac{ \pi }{2}+ \frac{ \pi k }{2}$, k∈Z