Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=-2x^3+4x^2+7 на промежутке [0;3]

Answer 1

$y=-2x^3+4x^2+7$

1) Найдём производную функции:

$y'=-6x^2+8x$

2) Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки минимума/максимума, т.е. экстремумы:

$-6x^2+8x=0 ~|:(-2) \\ 3x^2-4x=0 \\ x(3x-4)=0 \\~~ x=0~~~~~~~3x-4=0 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~3x=4 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~x= \frac{4}{3}$

Нашли две точки экстремума:  $0;~ \frac{4}{3}$
Обе они попадают в заданный промежуток  $[0;3]$

3) Теперь подставим все известные точки промежутка в саму функцию, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции в точках:

$y(0)=-2*0^3+4*0^2+7=0+0+7=7 \\ y(\frac{4}{3})=-2*(\frac{4}{3})^3+4*(\frac{4}{3})^2+7= \frac{-2*64}{~~1*27} + \frac{4*16}{1*9} +7= \frac{-128}{27} + \frac{64}{9} +7= \\ \\ = \frac{-128+64*3+7*27}{27} = \frac{253}{27} =9 \frac{10}{27} \\ \\ y(3)=-2*3^3+4*3^2+7=-2*27+4*9+7=-54+36+7=-11$

Ответ: $y$ наим.$=-11$ , $y$ наиб. $=9 \frac{10}{27}$