Question

вычислить сумму??????????

Answer 1

Покажите с помощью метода математической индукции, что $1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Из этого равенства и будет следовать ответ задачи, если их обеих частей вычесть 1.

Доказательство равенства проведём так:
1)Докажем базу индукции(справедливость равенства при n = 1). Это очевидно, если подставить n = 1 в левую и правую часть.

2)Докажем индукционный переход. Пусть это равенство верно при n = k. Докажем, что оно верно и при n = k + 1(n,k - натуральные числа).


Из того, что равенство верно при n = k(по предположению индукции), следует, что

$1 + 2^{2} + ... + k^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
Повторяю, это равенство верно, поскольку мы так предположили. Если нам удастся доказать, что и при n = k + 1 равенство будет удовлетворяться, то мы докажем шаг индукции, следовательно, для любых n равенство будет верно. Вот в этом и состоит идея метода математической индукции. Теперь докажем равенство для n = k + 1. Для этого к вышеуказанному равенству прибавим ещё один член(квадрат k+1).

$1 + 2^{2} + ... + k^{2} + (k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^{2}$

Здесь мы просто добавили к обеим частям равенства новый член. Теперь преобразуем правую часть(всё к одному знаменателю, разложение на множители и прочее.