Question

Найдите площадь фигуры, органической линиями y=1/x, у=х^3 и у=8

Answer 1

На рисунке показано, площадь какой фигуры нужно найти.
1) Найдем точки пересечения графиков:
1.1) $\frac{1}{x}=8$
$x_{1}=\frac{1}{8}$
1.2) $\frac{1}{x}=x^{3}$
$x^{4}=1$
$x_{2,3}=+-1$
В нашем случае только $x_{2}=1$
1.3) $x^{3}=8$
$x_{3,4}=+-2$
В нашем случае только $x_{3}=2$

2) Площадь фигуры найдем через сумму интегралов:
$S= \int\limits^1_{\frac{1}{8}} {(8- \frac{1}{x})} \, dx+ \int\limits^2_{1} {(8-x^{3})} \, dx=(8x-ln|x|)|^{1}_{\frac{1}{8}} + (8x- \frac{x^{4}}{4})|^{2}_{1}=(8-ln1-1+ln\frac{1}{8})+(16-4-8+0.25)=11.25-ln8$